Question

24、數學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行線CF于點F，求證：AE=EF．

經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基礎上，同學們作了進一步的研究：
（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；
（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，根據已知條件利用ASA判定△AME≌△ECF，因為全等三角形的對應邊相等，所以AE=EF．
（2）在BA的延長線上取一點N，使AN=CE，連接NE，根據已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因為全等三角形的對應邊相等，所以AE=EF．

解答：解：（1）正確．（1分）
證明：在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME．（2分）
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF是外角平分線，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），（5分）
∴AE=EF．（6分）

（2）正確．（7分）
證明：在BA的延長線上取一點N．
使AN=CE，連接NE．（8分）
∴BN=BE，
∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE=45°，
∴∠N=∠ECF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA）（10分）
∴AE=EF．（11分）

點評：此題主要考查學生對正方形的性質，角平分線的性質及全等三角形的判定方法的掌握情況．