Question

數學課上，張老師出示了問題1：如圖1，四邊形ABCD是正方形，BC=1，對角線交點記作O，點E是邊BC延長線上一點．連接OE交CD邊于F，設CE=x，CF=y，求y關于x的函數解析式及其定義域．
（1）經過思考，小明認為可以通過添加輔助線--過點O作OM⊥BC，垂足為M求解．你認為這個想法可行嗎？請寫出問題1的答案及相應的推導過程；
（2）如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形，BC=1”改為“四邊形ABCD是平行四邊形，BC=3，CD=2，”其余條件不變（如圖2），請直接寫出條件改變后的函數解析式；
（3）如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形，BC=1”進一步改為：“四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c為常量）”其余條件不變（如圖3），請你寫出條件再次改變后y關于x的函數解析式以及相應的推導過程．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得OB=OD，又由OM⊥BC，易證得OM∥DC，由平行線分線段成比例定理即可求得y關于x的函數解析式；
（2）作OM∥CD交BC于點M，利用（1）中的方法，即可求得y關于x的函數解析式；
（3）首先作ON∥CD交BC于點N，由平行線分線段成比例定理即可求得y關于x的函數解析式．

解答：解：（1）如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OD．
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=∠DCB=90°，
∴OM∥DC．
∴OM=

1

2

DC=

1

2

，CM=

1

2

BC=

1

2

．
∵OM∥DC，
∴

CF

OM

=

CE

EM

，
即

y

1 2

=

x

x+ 1 2

，
解得y=

x

2x+1

．定義域為x＞0．

（2）y=

2x

2x+3

（x＞0）．

（3）如右圖：
AD∥BC，

BO

OD

=

BC

AD

=

a

c

，

BO

BD

=

a

a+c

．
過點O作ON∥CD，交BC于點N，
∴

ON

DC

=

BO

BD

，
∴ON=

ab

a+c

．
∵ON∥CD，

CN

BN

=

OD

BO

=

c

a

，
∴

CN

BC

=

c

a+c

，
∴CN=

ac

a+c

．
∵ON∥CD，
∴

CF

ON

=

CE

EN

，即

y

ab a+c

=

x

x+ ac a+c

．
∴y關于x的函數解析式為y=

abx

(a+c)x+ac

（x＞0）．

點評：此題考查了平行線分線段成比例定理．此題的圖形變化比較多，難度較大，解題的關鍵是注意識圖，準確應用數形結合思想解題．