Question

如圖，已知二次函數的圖像開口向下，與x軸的一個交點為B，頂點A在直線y=x上，O為坐標原點。
（1）證明：△AOB是等腰直角三角形；
（2）若△AOB的外接圓C的半徑為1，求該二次函數的解析式；
（3）對題（2）中所求出的二次函數，在其圖像上是否存在點P （點P與點A不重合），使得△POC是以PC為腰的等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵點A在直線y=x上，
∴設點A的坐標為（m，m），
過點A作AD⊥x軸，交x軸于點D，
∵點A是二次函數圖像的頂點，
∴直線AD是其對稱軸，
∴點D是OB的中點，
∴OD=DB=AD，
∴△AOB是等腰直角三角形；
（2）∵△AOB是等腰直角三角形，且其外接圓C的半徑為1，
∴點C是OB的中點，（即點C就是上題中的點D），
且OC=CB=1，從而CA=1，
∴點A的坐標為（1，1），
點B為（2，0），設該二次函數的解析式為：，
∵B（2，0）在函數圖像上，
∴，
解得：a=-1，
∴，即；
（3）設存在點P（x，y），使得△POC是等腰三角形，
∵P（x，y）是二次函數圖像上的點，
∴，
可能一：PC=PO，則，從而P（）；
可能二：PC=OC，則PC=1，∴，即，
又，
∴，
解得：y=0或y=1，
y=0時，點P在x軸上，△POC不存在，
y=1時，點P與點A重合，不合題意，
綜上，點P（）。