Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=mx2－(2m+1)x+m－5的圖象與x軸有兩個公共點．

（）求m的取值范圍；

（）若m取滿足條件的最小的整數，

①寫出這個二次函數的表達式；

②當n≤x≤1時，函數值y的取值范圍是－6≤y≤4－n，求n的值；

③將此二次函數圖象平移，使平移后的圖象經過原點O．設平移后的圖象對應的函數表達式為y=a(x－h)2 +k，當x<2時，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②；③

【解析】分析：（1）因為函數為二次函數，所以有m≠0，又因為圖象與軸有兩個交點，所以判別式△>0，聯立即可解得的范圍。

（2）①因為m>- 且m≠0，且m取滿足條件的最小的整數，所以m=1，所以二次函數的解析式為；

②因為二次函數的對稱軸為直線x= ，所以n≤x≤1時，y隨x的增大而減小，當x=1時，函數值為-6，當x=n時，函數值為4-n，即可得到關于n的一元二次方程，求解即可；

③由平移后圖象對應的函數表達式可得a=1，因為平移后的圖象經過原點O，將點(0,0)代入平移后的函數表達式可得k=-，由x<2，y隨x的增大而減小得對稱軸h≥2，即可確定k的取值范圍。

詳解：（1）

∵該二次函數圖像與x軸有兩個交點

∴

（2）①

②

函數對稱軸是直線x=1.5

因為在n≤x≤1范圍內，x=n時y取到最大值

而當n≤x≤1時，函數值y的取值范圍是－6≤y≤4－n

所以

得n=-2或n=4（不合題意）

③由題意得a=1，圖象經過原點，可得

∵當x<2時，y隨x的增大而減小

∴

則