Question

如圖，有一直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點P，從初始位置Ⅰ開始，在無滑動的情況下沿數軸向右翻滾至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于數軸，且半⊙P與數軸相切于原點O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于數軸；位置Ⅲ中的MN在數軸上；位置Ⅴ中的點N到數軸的距離為3，且半⊙P與數軸相切于點A．
解答下列問題：
（1）位置Ⅰ中的MN與數軸之間的距離為______；位置Ⅱ中的半⊙P與數軸的位置關系是______；
（2）求位置Ⅲ中的圓心P在數軸上表示的數；
（3）紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時，求點N所經過路徑長及該紙片所掃過圖形的面積；
（4）求OA的長．
[（2），（3），（4）中的結果保留π]．

Answer 1

解：（1）∵⊙P的直徑=4，
∴⊙P的半徑=2，
∵⊙P與直線有一個交點，
∴位置Ⅰ中的MN與數軸之間的距離為2；位置Ⅱ中的半⊙P與數軸的位置關系是相切；
故答案為：2，相切；

（2）位置Ⅰ中的長與數軸上線段ON相等，
∵的長為=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圓心P在數軸上表示的數為π+2．
（3）點N所經過路徑長為=2π，
S_半圓==2π，S_扇形==4π，
半⊙P所掃過圖形的面積為2π+4π=6π．

（4）如圖，作NC垂直數軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH==，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
從而的長為=，于是OA的長為π+4+π=π+4．
分析：（1）先求出圓的半徑，再根據切線的性質進行解答；
（2）根據位置Ⅰ中的長與數軸上線段ON相等求出的長，再根據弧長公式求出的長，進而可得出結論；
（3）作NC垂直數軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形，在Rt△NPH中，根據sin∠NPH==即可∠NPH、∠MPA的度數，進而可得出的長，
點評：本題考查的是直線與圓的關系、弧長的計算、扇形的面積公式，在解答此題時要注意Ⅰ中的長與數軸上線段ON相等的數量關系．