Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BE⊥AC于點F，交邊AD于點E，連結DF，若點E為AD的中點，則DF的長為__________ .

Answer 1

【答案】3

【解析】分析：過F作FH⊥AD于H．設AE=x，則ED=x．由∠1=∠3，得到tan∠1===tan∠3==，解方程得到AE的長．由勾股定理得到BE的長．由S△ABE=AB×AE=EB×AF，得到AF的長．再由∠1=∠3，得到sin∠1=sin∠3，從而得到FH、AH、HD的長，即可得到結論．

詳解：過F作FH⊥AD于H．設AE=x，則ED=x．

∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°．

∵BE⊥AC，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3．在Rt△ABE中，tan∠1==．在Rt△ADC中，tan∠3==，∴=，解得：x=(負數舍去)．在Rt△ABE中，BE==．

∵S△ABE=AB×AE=EB×AF，∴，解得：AF=．

∵∠1=∠3，∴sin∠1=sin∠3，∴，解得：FH=1，∴AH===，∴HD=AD-AH==，∴FD== =3．

故答案為：3．