Question

【題目】為了扶持大學生自主創業，市政府提供了80萬元無息貸款，用于某大學生開辦公司生產并銷售自主研發的一種電子產品，并約定用該公司經營的利潤逐步償還無息貸款．已知該產品的生產成本為每件40元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其它費用15萬元．該產品每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系如圖所示．

（1）求月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；

（2）當銷售單價定為50元時，為保證公司月利潤達到5萬元（利潤=銷售額﹣生產成本﹣員工工資﹣其它費用），該公司可安排員工多少人？

（3）若該公司有80名員工，則該公司最早可在幾個月后還清無息貸款？

Answer 1

【答案】（1）（2）40（3）8

【解析】

試題分析：（1）從圖中看，這是一個分段一次函數，40≤x≤60和60＜x＜100時，函數的表達式不同，每段函數都經過兩點，使用待定系數法即可求出函數關系式；

（2）利用（1）中的函數關系，當銷售單價定為50元時，可計算出月銷售量，設可安排員工m人，利潤=銷售額一生產成本﹣員工工資﹣其它費用，列出方程即可解；

（3）先分情況討論出利潤的最大值，即可求解．

試題解析：（1）當40≤x≤60時，令y=kx+b，

則，

解得，

故，

同理，當60＜x＜100時，．

故；

（2）設公司可安排員工a人，定價50元時，

由5=（﹣×50+8）（50﹣40）﹣15﹣0.25a，

得30﹣15﹣0.25a=5，

解得a=40，

所以公司可安排員工40人；

（3）當40≤x≤60時，

利潤w1=（﹣x+8）（x﹣40）﹣15﹣20=﹣（x﹣60）2+5，

則當x=60時，wmax=5萬元；

當60＜x＜100時，

w2=（﹣x+5）（x﹣40）﹣15﹣0.25×80

=﹣（x﹣70）2+10，

∴x=70時，wmax=10萬元，

∴要盡早還清貸款，只有當單價x=70元時，獲得最大月利潤10萬元，

設該公司n個月后還清貸款，則10n≥80，

∴n≥8，即n=8為所求．