Question

【題目】在一個三角形中，如果一個角是另一個角的2倍，我們稱這種三角形為倍角三角形．如圖1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的對邊分別記為a，b，c，倍角三角形的三邊a，b，c有什么關系呢？讓我們一起來探索．

（1）我們先從特殊的倍角三角形入手研究．請你結合圖形填空：

三三角形角形	角的已知量
圖2	∠A=2∠B=90°
圖3	∠A=2∠B=60°

（2）如圖4，對于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的對邊分別記為a，b，c，a，b，c，三邊有什么關系呢？請你作出猜測，并結合圖4給出的輔助線提示加以證明；

（3）請你運用（2）中的結論解決下列問題：若一個倍角三角形的兩邊長為5，6，求第三邊長．（直接寫出結論即可）

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）第三邊的長為或或或4或．

【解析】

（1）由題意可分別得出相應角的度數，求解特殊角的三角函數值即可；（2）由第（1）猜測a，b，c的關系是=，如圖4作出輔助線，不難證明△CBD∽△CAB，由相似三角形的性質寫出對應邊的比值，得出結論；（3）分類討論分別求出第三邊長即可.

（1）

三角形	角的已知量
圖2	∠A=2∠B=90°
圖3	∠A=2∠B=60°

（2）猜測a，b，c的關系是=，延長CA至D，使AD=AB（如圖4）；

∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，

∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，

∵∠CAB=2∠CBA，

∴∠D=∠CBA，

又∵∠C=∠C，

∴△CBD∽△CAB，

∴=，即=；

（3）①當a=5，b=6時，

由（2）得：=，解得c=﹣（不合題意舍去）；

②當a=6，b=5時，

=，解得c=；

③當a=5，c=6時，

=，解得b=﹣3（負值舍去）；

④當a=6，c=5時，

=，解得b=4（負值舍去）；

⑤當b=5，c=6時，

=，解得a=（負值舍去）；

⑥當b=6，c=5時，

=，解得a=（負值舍去）；

綜上可知：第三邊的長為或或﹣3或4或．