Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，在△ABC外側作∠ACM，使得∠ACM＝∠ABC，點D是射線CB上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F．

（1）當點D與點B重合時，如圖1所示，線段DF與EC的數量關系是　 ；

（2）當點D運動到CB延長線上某一點時，線段DF和EC是否保持上述數量關系？請在圖2中畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）DF＝2EC；（2）仍然成立；理由見解析.

【解析】

（1）延長BA、CM交于點N，先證明BC=BN，得出CN=2CE，再證明△BAF≌△CAN，得BF=CN，即可得出結論；
（2）作∠PDE=22.5°，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，先證明DC=PD，得出PC=2CE，再證明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出結論．

（1）DF＝2EC，理由是：

如圖1，延長BA、CM交于點N，

∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠AFB＝∠EFC，

∴∠ABE＝∠ACM＝∠ABC，

∴BE平分∠ABC，

∵BE⊥CN，

∴BC＝BN，

∴E是CN的中點，

∴NC＝2CE，

∵AB＝AC，∠BAC＝∠CAN＝90°，

∴△BAF≌△CAN(ASA)，

∴BF＝CN，

∴BF＝2EC，即DF＝2EC；

（2）仍然成立，DF＝2EC；

理由如下：如圖2，作∠PDE＝22.5°，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，

∵DE⊥PC，∠ECD＝67.5，

∴∠EDC＝22.5°，

∴∠PDE＝∠EDC，∠NDC＝45°，

∴∠DPC＝67.5°，

在△DPE和△DEC中，，

∴△DPE≌△DEC（AAS），

∴PD＝CD，PE＝EC，

∴PC＝2CE，

∵∠NDC＝45°，∠NCD＝45°，

∴∠NCD＝∠NDC，∠DNC＝90°，

∴△NDC是等腰直角三角形

∴ND＝NC且∠DNC＝∠PNC，

在△DNF和△PNC中，，

∴△DNF≌△PNC（ASA），

∴DF＝PC，

∴DF＝2CE．