Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0），與y軸交于C．

（1）求該拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；

（2）設拋物線的對稱軸交x軸于D，在對稱軸左側的拋物線上有一點E，使S△ACE＝，求點E的坐標；

（3）若P是直線y＝x+1上的一點，P點的橫坐標為，M是第二象限拋物線上的一點，當∠MPD＝∠ADC時，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3．（2）E（﹣4，5）．（3）M（﹣4，5）

【解析】

（1）根據待定系數法確定二次函數的解析式即可；

（2）根據E點在拋物線上，設E（m，m2+2m﹣3），再結合已知條件，利用三角形的面積計算公式S=底高，從而解得m的值；

（3）首先過點D作DN⊥DP，交PM的延長線與點N，過點N作NL⊥x軸，過點P作PE⊥x軸，再利用已知條件證明△NPD∽△CDO，同時證明△NLD∽△DEP，因此得到N點坐標，N點在一次函數上，可以得到一次函數的解析式，根據M點是一次函數和二次函數的交點，聯立方程組，解得M點的坐標，已知M點在第二象限上刪去不符合條件的M點的坐標。

解：（1）∵A（1，0），B（﹣3，0）關于直線x＝﹣1對稱，

∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1．

拋物線的解析式為y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．

（2）設點E（m，m2+2m﹣3）．

∵AD＝2，OC＝3，

∴S△ACD＝×ADOC＝3．

∵S△ACE＝，

∴S△ACE＝10．

設直線AE的解析式為y＝kx﹣b．把點A和點E的坐標代入得：，解得：．

∴直線AE的解析式為y＝（m+3）x﹣m﹣3．

∴F（0，﹣m﹣3）．

∵C（0，﹣3），

∴FC＝﹣m﹣3+3＝﹣m．

∴S△EAC＝×FC×（1﹣m）＝10，即﹣m（1﹣m）＝20，解得：m＝﹣4或m＝5（舍去）．

∴E（﹣4，5）．

（3）如圖所示：

過點D作DN⊥DP，交PM的延長線與點N，過點N作NL⊥x軸，垂足為L，過點P作PE⊥x軸，垂足為E．

∵∠MPD＝∠ADC，∠NDP＝∠DOC，

∴△NPD∽△CDO．

∴＝，

∴＝＝3．

又∵△NLD∽△DEP，

∴＝＝＝3，

∴NL＝7，DL＝7，

∴N（﹣8，7）．

∴直線PN的解析式為y＝﹣x﹣3．

聯立y＝x2+2x﹣3與y＝﹣x﹣3，解得：x＝（舍去）或x＝﹣4．

∴M（﹣4，5）．