Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別從A和B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在邊AB和BC上勻速運(yùn)動(dòng)，并且同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)B，C，連接PO，QO并延長(zhǎng)分別與CD，DA交于點(diǎn)M，N，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況是（　　）

A. 一直增大 B. 一直減小 C. 先減小后增大 D. 先增大后減小

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：過(guò)O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，設(shè)BQ＝x，由點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度2倍，設(shè)AP＝2x，BP＝8﹣2x，CQ＝4﹣x，用含x的代數(shù)式表示陰影部分的面積，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷.

詳解：如圖所示，過(guò)O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，

∴OE＝BC＝2，OF＝AB＝4，

設(shè)BQ＝x，則由點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度2倍，可得AP＝2x，BP＝8﹣2x，CQ＝4﹣x，

∵△POQ的面積＝Rt△ABC的面積﹣△AOP的面積﹣△COQ的面積﹣△BPQ的面積

＝×4×8﹣×2x×2﹣×(4﹣x)×4﹣x(8﹣2x)

＝x2﹣4x＋8，

∴陰影部分面積y＝2x2﹣8x＋16(0≤x≤4)，

∴當(dāng)x＝2時(shí)，陰影部分面積y有最小值，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得陰影部分面積先減小后增大，

故選C．