Question

（2012•江津區模擬）如圖，直角坐標系中，A（-2，0），B（8，0），以AB為直徑作半⊙P交y軸于M，以AB為一邊作正方形ABCD．
（1）直接寫出C、M兩點的坐標．
（2）連CM，試判斷直線CM是否與⊙P相切？說明你的理由．
（3）在x軸上是否存在一點Q，使△QMC周長最小？若存在，求出Q坐標及最小周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為ABCD為正方形，且邊長為10，所以易得C點坐標；連接PM，根據P點坐標和半徑求OM可得M點坐標．
（2）根據CM、PM、PC的長判定△PCM為直角三角形，得∠PMC=90°，從而判斷相切．或證△PCM≌△PCB得證．
（3）因CM長度固定，要使△QMC周長最小，只需PM+PC最小．作M關于x軸的對稱點M′，連接CM′，交x軸于Q點，根據對稱性及兩點之間線段最短說明存在Q點．

解答：解：（1）如圖1，連MP，PC；
∵A（-2，0），B（8，0），
∴AB=10．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=AB=10，
∴C（8，10）．
在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，
∴OM=4，即M（0，4）．

（2）CM與⊙P相切．
理由：Rt△CBP中，CB=10，BP=5，
∴CP²=125．
△CEM中，EM=6，CE=8，
∴CM²=100．
∵100+25=125，
∴△CMP中，CM²+MP²=CP²，
∴∠CMP=90°．
即：PM⊥CM．
∴CM與⊙P相切．

（3）△QMC中，CM恒等于10，要使△QMC周長最小，即要使MQ+QC最小．
如圖2，作M關于x軸對稱點M′，連CM′交x軸于點Q，連MQ，此時，△QMC周長最小．
∵C（8，10），M'（0，-4），
設直線CM'：y=kx+b（k≠0）

∴

8k+b=10 b=-4

，
解得：

k= 7 4 b=-4

，
∴y=

7

4

x-4，
∴Q（

16

7

，0）．
∵x軸垂直平分MM′，
∴QM=QM'，
∴MQ+QC=M'Q+QC=M'C．
△CEM'中，CE=8，EM'=14
∴CM′=2

65

∴△QMC周長最小值為2

65

+10．
∴存在符合題意的點Q，且Q（

16

7

，0）
此時△QMC周長最小值為2

65

+10．

點評：此題考查了圓的綜合應用以及坐標系內求點的坐標、切線的判定、利用作圖求最小值等知識點，綜合性很強，利用軸對稱得出△QMC周長最小時Q的位置是解題關鍵．