Question

如圖1，在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長EF交AB于G，連接DG．
(1) 求證：∠EDG=45°．
(2)如圖2，E為BC的中點，連接BF．
①求證：BF∥DE；
②若正方形邊長為6，求線段AG的長．
(3) 當BE︰EC=         時，DE=DG．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析，2；（3）.

試題分析：（1）易證△DGA≌△DGF，知∠3＝∠4，由折疊得∠1＝∠2，所以∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°；
（2）如圖2由折疊易知∠5＝∠6，再由三角形的外角知∠5＝∠DEC，得證BF∥DE；由勾股定理可求AG的長；
（3）.
試題解析：（1）證明：如圖：

∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC = 90°．
∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，
∴∠DFG=∠A，DA=DF，
又∵DG=DG，
∴△DGA≌△DGF，
∴∠3＝∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°．
(2)①證明：∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，E為BC的中點
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．
∴∠5＝∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6
∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC 
∴BF∥DE．
②解：設AG=x，則GF=x，BG=6－x，
由正方形邊長為6，得CE=EF=BE=3，
∴GE=EF+GF=3+x．
在Rt△GBE中，根據勾股定理得：
 
解得x=2，即線段AG的長為2．

(3) .