Question

【題目】如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．動點P從點B出發，沿射線BC的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q同時從點A出發，在線段AD上以每秒1個單位長的速度向點D運動，當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為t（秒）．

（1）設△DPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（2）當t為何值時，四邊形PCDQ是平行四邊形？
（3）分別求出當t為何值時，①PD=PQ，②DQ=PQ．

Answer 1

【答案】
（1）解：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，

依題意AQ=t，BP=2t，則DQ=16﹣t，PC=21﹣2t，

過點P作PE⊥AD于E，

則四邊形ABPE是矩形，PE=AB=12，

∴S△DPQ= DQAB= （16﹣t）×12=﹣6t+96

（2）解：當四邊形PCDQ是平行四邊形時，PC=DQ，

∴21﹣2t=16﹣t解得：t=5，

∴當t=5時，四邊形PCDQ是平行四邊形

（3）解：∵AE=BP=2t，PE=AB=12，

①當PD=PQ時，QE=ED= QD，

∵DE=16﹣2t，

∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16﹣2t，

解得：t= ，

∴當t= 時，PD=PQ

②當DQ=PQ時，DQ2=PQ2

∴t2+122=（16﹣t）2解得：t=

∴當t= 時，DQ=PQ

【解析】（1）S△QDP= DQAB，由題意知：AQ=t，DQ=AD﹣AQ=16﹣t，將DQ和AB的長代入，可求出S與t之間的函數關系式；（2）當四邊形PCDQ為平行四邊形時，PC=DQ，即16﹣t=21﹣2t，可將t求出；（3）當PD=PQ時，可得：AD=3t，從而可將t求出；當DQ=PQ時，根據DQ2=PQ2即：t2+122=（16﹣t）2可將t求出．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題．