Question

【題目】（14分）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，請解決下列問題．

（1）填空：點C的坐標為（ ， ），點D的坐標為（ ， ）；

（2）設點P的坐標為（a，0），當最大時，求a的值并在圖中標出點P的位置；

（3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′，設點C對應點C′的橫坐標為t（其中0＜t＜6），在運動過程中△B′C′P′與△BCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的關系式，并直接寫出當t為何值時S最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）C（0，3），D（1，4）；（2）a=﹣3；（3）S=，當t=時，S有最大值．

【解析】試題分析：（1）令x=0，得到C的坐標，把拋物線配成頂點式，可得頂點D的坐標；

（2）延長CD交x軸于點P．因為小于或等于第三邊CD，所以當等于CD時， 的值最大．因此求出過CD兩點的解析式，求它與x軸交點坐標即可；

（3）過C點作CE∥x軸，交DB于點E，求出直線BD的解析式，得到點E的坐標，求出P′C′與BC的交點M的坐標，分兩種情況討論：①點C′在線段CE上；②點C′在線段CE的延長線上，再分別求得N點坐標，再利用圖形的面積的差，可表示出S，再求得其最大值即可．

試題解析：（1）在中，令x=0，得到y=3，∴C（0，3），∵=，∴D（1，4），故答案為：C（0，3），D（1，4）；

（2）∵在三角形中兩邊之差小于第三邊，∴延長DC交x軸于點P，設直線DC的解析式為，把D、C兩點坐標代入可得： ，解得： ，∴直線DC的解析式為，將點P的坐標（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，如圖1，點P（﹣3，0）即為所求；

（3）過點C作CE∥x，交直線BD于點E，如圖2，

由（2）得直線DC的解析式為，易求得直線BD的解析式為，直線BC的解析式為，在中，當y=3時，x=，∴E點坐標為（，3），設直線P′C′與直線BC交于點M，∵P′C′∥DC，P′C′與y軸交于點（0，3﹣t），∴直線P′C′的解析式為，聯立： ，解得： ，∴點M坐標為（， ），∵B′C′∥BC，B′坐標為（3+t，0），∴直線B′C′的解析式為，

分兩種情況討論：①當時，如圖2，B′C′與BD交于點N，聯立：，解得： ，∴N點坐標為（3﹣t，2t），S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣（6﹣t）×（6﹣t）﹣t×2t=，其對稱軸為t=，可知當時，S隨t的增大而增大，當t=時，有最大值；

②當時，如圖3，直線P′C′與DB交于點N，

聯立： ，解得： ，∴N點坐標為（， ），S=S△BNP′﹣S△BMP′=（6﹣t）×﹣×（6﹣t）×==；

顯然當＜t＜6時，S隨t的增大而減小，當t=時，S=

綜上所述，S與t之間的關系式為S=，且當t=時，S有最大值，最大值為．

∵，∴當t=時，S有最大值．