Question

正方形OCED與扇形OAB有公共頂點O，分別以OA、OB所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．如圖所示、正方形兩個頂點C、D分別在x軸、y軸正半軸上移動、設OC=x，OA=3，則：
（1）當x=1時，正方形與扇形不重合的面積是

 

；
（2）當x=

 

時，直線CD與扇形OAB相切，此時切點坐標是

 

；
（3）當正方形有頂點恰好落在AB上時，求正方形與扇形不重合的面積．

Answer 1

分析：（1）當x=1時，用扇形面積-正方形面積，直接得出結論；
（2）如圖，直線CD與扇形OAB相切，切線為C₁D₁，切點為E₁，可知OE₁=OA=3，OE₁⊥C₁D₁，C₁D₁∥CD，故∠E₁C₁0=∠DCO=45°，解直角三角形可求OC₁，確定C點坐標；
（3）如圖，當正方形有頂點恰好落在AB上時，正方形對角線OE₁=OA=3，正方形面積等于對角線積的一半，用扇形面積-正方形面積即可．

解答：解：（1）當x=1時，正方形與扇形不重合的面積是：

9π

4

-1；
（2）如圖，當直線CD與扇形OAB相切時，設切線為C₁D₁，切點為E₁，
根據切線的性質得，OE₁=OA=3，OE₁⊥C₁D₁，
又∵C₁D₁∥CD，∴∠E₁C₁0=∠DCO=45°，
∴OC₂，=C₂E₁=OE₁•sin45°=

3 2

2

，
即切點E₁坐標為（

3 2

2

，

3 2

2

）；

（3）①如圖，當正方形有頂點恰好落在AB上時，正方形對角線OE₁=OA=3，
不重合部分面積為：

9π

4

-

1

2

×3×3=

9π

4

-

9

2

．
②如圖b，當點C，D分別與A，B重合時，OC=OA=3，
∴不重合部分面積為：S_{正方形OCED}-S_扇形AOB=9-

9

4

π．

點評：本題考查了直角坐標系中，圖形的點的坐標求法，面積問題，需要根據題意，結合圖形特點求解，具有一定的綜合性．