Question

正方形OCED與扇形OAB有公共頂點0，分別以OA，0B所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．如圖所示．正方形兩個頂點C、D分別在x軸、y軸正半軸上移動．設OC=x，OA=3
（1）當x=1時，正方形與扇形不重合的面積是

 

；此時直線CD對應的函數關系式是

 

；
（2）當直線CD與扇形OAB相切時．求直線CD對應的函數關系式；
（3）當正方形有頂點恰好落在

AB

上時，求正方形與扇形不重合的面積．

Answer 1

分析：（1）當x=1時，正方形與扇形不重合的面積=

1

4

π×9-1=

9

4

π-1，直線過點（0，1），（1，0）用待定系數法求得直線CD對應的函數關系式y=-x+1；
（2）直線CD與扇形AOB切于點P，連接OP，則OP⊥CD，根據正方形的性質和等腰直角三角形的性質求得直線與x，y軸的交點后用待定系數法求直線的解析式；
（3）分兩種情況，根據扇形的面積公式和正方形的面積公式求解．

解答：解：（1）

9

4

π-1，y=-x+1；

（2）設直線CD與扇形AOB切于點P，連接OP，則OP⊥CD；
∵CD為正方形OCED的對角線，
∴∠OCD=∠ODC=45°；
在Rt△OCP中，
∵OP=OA=3，sin∠OCP=

OP

OC

，
∴OC=

OP

sin∠OCP

=3

2

；
∴C（3

2

，0），D（0，3

2

）；
設直線C，D的解析式為y=kx+b，把C、D代入得，
∴

3 2 k+b=0 b=3 2

∴k=-1；
∴y=-x+3

2

；

（3）①如圖a，當點E落在弧AB上時，連接OE．則OE=OA=3；
∴S_不重合=S_扇AOB-S_正OCED=

9

4

π-

9

2

；
②如圖b，當點C、D分別與A、B重合時，OC=OA=3；
∴S_不重合=S_正OCED-S_扇AOB=9-

9

4

π．

點評：本題主要考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質、切線的概念、一次函數解析式的確定等知識．