Question

如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，P是直線BC上一點．(1) 若CP=CD，求證：△DBP是等腰三角形；(2) 在圖①中建立以△ABC的邊BC的中點為原點，BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在直線為y軸的平面直角坐標系，如圖②，已知等邊△ABC的邊長為2，AO=，在x軸上是否存在除點P以外的點Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

.證明：∵△ABC是等邊三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵BD是中線 ∴∠DBC=30°
∵CP="CD " ∴∠CPD=∠CDP 又∵∠ACB=60° ∴∠CPD=30°∴∠CPD=∠DBC
∴DB=DP即△DBP是等腰三角形．
(2) 解：在x軸上存在除點P以外的點Q，使△BDQ是等腰三角形
①若點P在x軸負半軸上，且BP="BD " ∵BD= ∴BP=
∴OP=  ∴點P₁（，0）②若點P在x軸上，且BP=PD
∵∠PBD=∠PDB=30° ∴∠DPC=60°又∠PCD=60°∴PC=DC=1
而OC="1 " ∴OP="0 " ∴點P₂（0，0）
③若點P在x軸正半軸上，且BP="BD  " ∴BP=   而OB=1
∴OP=   ∴點P₃（，0）

略