Question

（2000•西城區）已知：△ABC是⊙O的內接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P做BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F．

（1）當點P在線段AB上時（如圖）．求證：PA•PB=PE•PF；
（2）當點P為線段BA延長線上一點時，第（1）題的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；
（3）若，，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）解決此問的關鍵是通過平行和圓的切線性質證明△PFA∽△PBE．（2）成立，方法同上．（3）本題主要是通過銳角三角函數來解決問題的．
解答：（1）證明：∵BT切⊙O于點B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠C，
∠AFP=∠EBP，
∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴，
∴PA•PB=PE•PF；

（2）解：當P為BA延長線上一點時，第（1）題的結論仍成立（如圖）
∵BT切⊙O于點B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠PFA=∠C，
∠PFA=∠PBE，
又∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴，
∴PA•PB=PE•PF；

（3）解法一：作直徑AH，連接BH
∴∠ABH=90°，
∵BT切⊙O于點B，
∴∠EBA=∠AHB
∵cos∠EBA=，
∴cos∠AHB=，
∵sin²∠AHB+cos²∠AHB=1，又∠AHB為銳角，
∴sin∠AHB=．
在Rt△ABH中，
∵sin∠AHB=，AB=4，
∴AH==6，
∴⊙O半徑為3；

解法二：作直徑BH，連接AH（如圖）．
∴∠BAH=90°，
∵BT切⊙O于點B，
∴∠EBH=90°，
∵cos∠EBA=，
∴sin∠ABH==，
設AH=x，則BH=3x，
在Rt△ABH中，AB=4，
由勾股定理，AB²+AH²=BH²，
∴（4）²+x²=（3x）²
解得x₁=2，x₂=-2（負值舍去）
∴BH=6，
∴⊙O半徑為3．
點評：本題主要是考查圓的切線性質，相似三角形的判定定理及解直角三角形．是一道綜合題，解題思路清晰，方法獨特，容易理解．