Question

（2000•西城區）已知：拋物線與拋物線在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示，其中一條與x軸交于A、B兩點．
（1）試判定哪條拋物線經過A、B兩點，并說明理由；
（2）若A、B兩點到原點的距離AO、OB滿足，求經過A、B兩點的這條拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需令每一條拋物線的解析式等于0，計算每一個方程的判別式△的值，使△＞0的即為所求；
（2）如果設點A（x₁，0），B（x₂，0），則x₁、x₂是方程x²+mx-=0的兩個實數根，根據一元二次方程根與系數的關系及已知條件，可求出m的值，進而得到拋物線的解析式．
解答：解：（1）∵拋物線不過原點，
∴m≠0．
令x²-mx+=0，
∴△₁=（-m）²-4×=-m²＜0，與x軸沒有交點．
令x²+mx-=0，
∵△₂=m²-4（-）=4m²＞0，
∴拋物線y=x²+mx-經過A、B兩點；

（2）設點A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁、x₂是方程x²+mx-=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=-m，x₁•x₂=-，
∵AO=-x₁，OB=x₂，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得m=2，經檢驗，m=2是方程的解．
∴所求拋物線的解析式為y=x²+2x-3．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的聯系．