Question

【題目】如圖所示，點P的坐標為（1，3），把點P繞坐標原點O逆時針旋轉90°后得到點Q．

（1）寫出點Q的坐標是________；

（2）若把點Q向右平移個單位長度，向下平移個單位長度后，得到的點落在第四象限，求的取值范圍；

（3）在（2）條件下，當取何值，代數式取得最小值.

Answer 1

【答案】（1）Q(-3，1)（2）a>3（3）0

【解析】

(1)如圖，作PA⊥x軸于A，QB⊥x軸于B，則∠PAO=∠OBQ=90°，證明△OBQ≌△PAO(AAS)，從而可得OB=PA，QB=OA，繼而根據點P的坐標即可求得答案；

(2)利用點平移的規律表示出Q′點的坐標，然后根據第四象限點的坐標特征得到a的不等式組，再解不等式即可；

(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，代入所求式子得 ，繼而根據偶次方的非負性即可求得答案 .

(1)如圖，作PM⊥x軸于A，QN⊥x軸于B，則∠PAO=∠OBQ=90°，

∴∠P+∠POA=90°，

由旋轉的性質得：∠POQ=90°，OQ=OP，

∴∠QOB+∠POA=90°，

∴∠QOB=∠P，

∴△OBQ≌△PAO(AAS)，

∴OB=PA，QB=OA，

∵點P的坐標為(1，3)，

∴OB=PA=3，QB=OA=1，

∴點Q的坐標為(-3，1)；

(2)把點Q(-3，1)向右平移a個單位長度，向下平移a個單位長度后，

得到的點M的坐標為(-3+a，1-a)，

而M在第四象限，

所以，

解得a>3，

即a的范圍為a>3；

(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，

∴

，

∵，

∴當a=4時，代數式的最小值為0.