Question

【題目】已知函數y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常數）

（1）四位同學在研究此函數時，甲發現當x＝0時，y＝5；乙發現函數的最大值為9；丙發現函數圖象的對稱軸是直線x＝2；丁發現4是方程﹣x2+bx+c＝0的一個根．已知這四位同學中只有一位發現的結論是錯誤的，請直接寫出錯誤的那個人是誰，并求出此函數表達式；

（2）在（1）的條件下，函數y＝﹣x2+bx+c的圖象頂點為A，與x軸正半軸交點為B，與y軸的交點為C，若將該圖象向下平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數圖象的頂點落在△ABC的內部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；

（3）若c＝b2，當﹣2≤x≤0時，函數y＝﹣x2+bx+c的最大值為5，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）錯誤的是丁，函數的表達式為：y＝﹣x2+4x+5；（2）0＜m＜6；（3）b＝或﹣2．

【解析】

（1）假設兩位同學的結論正確，用其去驗證另外兩個同學的結論，只要找出一個正確一個錯誤，即可得出結論；

（2），則點，平移后頂點坐標為：，按照平移后的圖象頂點在點A、H之間求解即可；

（3）當時，寫出解析式，分、、三種情況，分別求解即可．

解：（1）甲發現當時，，則；乙發現函數的最大值為9，即；

丙發現函數圖象的對稱軸是直線，則，即；丁發現4是方程的一個根，則，

假設甲和丙正確，即，，則即，故乙正確，而丁錯誤，

故錯誤的是丁，函數的表達式為：；

（2），則點，平移后頂點坐標為：，

，令，則或，故點，而點，

過點A作y軸的平行線交BC于點H，

由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：，

當時，，故點，

函數圖象的頂點落在的內部，則，

解得：；

（3），則拋物線的表達式為：，函數的對稱軸為：，

當時，即，

則時，y取得最大值，即，解得：舍去負值；

當時，即，

當時，y取得最大值，即，解得：舍去；

當時，

則時，y取得最大值，即，解得： （不合題意舍去；

綜上，或．