Question

如圖，已知正方形ABCD和EFCG，點(diǎn)E、F、G分別在線段AC、BC、CD上，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6．
（1）如果正方形EFCG的邊長(zhǎng)為4，求證：△ABE∽△CAG；
（2）正方形EFCG的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，tan∠ABE×cot∠CAG=3．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到各角均為直角，AC，EC的長(zhǎng)，從而根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似求得結(jié)論．
（2）設(shè)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為x，則BF=6-x，連接FG交AC于點(diǎn)H，從而分別表示GH，AH的長(zhǎng)，用未知數(shù)分別表示tan∠ABE與cot∠CAG，根據(jù)等式可求得求知數(shù)的值，即求得正方形EFCG的邊長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為6，正方形EFCG邊長(zhǎng)為4，
∴∠BAC=∠ACG，AB=6，AC=6

2

，CG=4，EC=4

2

．（2分）
∴AE=AC-EC=2

2

．
∴

AB

AE

=

AC

CG

．（2分）
在△ABE和△CAG中
∠BAC=∠ACG，

AB

AE

=

AC

CG

，
∴△ABE∽△CAG．（1分）

（2）解：設(shè)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為x，則BF=6-x，
連接FG交AC于點(diǎn)H，
可得GH⊥AC，GH=

2

2

x，AH=6

2

-

2

2

x，
tan∠CAG=

GH

AH

=

2 2 x

6 2 - 2 2 x

=

x

12-x

，（2分）
∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，
∴tan∠ABE=

BF

EF

=

6-x

x

．（1分）
∵tan∠ABE=3tan∠CAG，
∴

6-x

x

=

3x

12-x

，（1分）
∴x₁=-12（舍去），x₂=3，
∴當(dāng)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為3時(shí)，tan∠ABE=3tan∠CAG．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法的綜合運(yùn)用．