Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y= -x²+x+m²-3m+2x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B(2，n)在這條拋物線上。

   (1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

   (2) 點(diǎn)P在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E。延長(zhǎng)PE到點(diǎn)D。使得ED=PE。以PD為斜邊在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD(當(dāng)P點(diǎn)運(yùn) 時(shí)，C點(diǎn)、D點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng))

      j 當(dāng)?shù)妊�直角三角�?i>PCD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長(zhǎng)；

      k 若P點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一

         點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位(當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)停止

         運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng))。過(guò)Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F。延長(zhǎng)QF

         到點(diǎn)M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN(當(dāng)Q

         點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M點(diǎn)，N點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng))。若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分

         別有一條直角邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值。

 

Answer 1

解：(1) ∵拋物線y= -x²+x+m²-3m+2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴m²-3m+2=0，解得m₁=1，m₂=2，

          由題意知m¹1，∴m=2，∴拋物線的解析式為y= -x²+x，∵點(diǎn)B(2，n)在拋物線

          y= -x²+x上，∴n=4，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，4)。

    (2) j 設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x，求得直線OB的解析式為

          y=2x，∵A點(diǎn)是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，可求得A點(diǎn)的

          坐標(biāo)為(10，0)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，0)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為

          (a，2a)，根據(jù)題意作等腰直角三角形PCD，如圖1。可求

          得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3a，2a)，由C點(diǎn)在拋物線上，得

          2a= -´(3a)²+´3a，即a²-a=0，解得a₁=，a₂=0

          (舍去)，∴OP=。

       k 依題意作等腰直角三角形QMN，設(shè)直線AB的解析式為y=k₂x+b，由點(diǎn)A(10，0)，

          點(diǎn)B(2，4)，求得直線AB的解析式為y= -x+5，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰

          直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況：

          第一種情況：CD與NQ在同一條直線上。如圖2所示。可證△DPQ為等腰直角三

              角形。此時(shí)OP、DP、AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、4t、2t個(gè)單位。∴PQ=DP=4t，

              ∴t+4t+2t=10，∴t=。

          第二種情況：PC與MN在同一條直線上。如圖3所示。可證△PQM為等腰直角三

              角形。此時(shí)OP、AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、2t個(gè)單位。∴OQ=10-2t，∵F點(diǎn)在

              直線AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t+2t+2t=10，∴t=2。

          第三種情況：點(diǎn)P、Q重合時(shí)，PD、QM在同一條直線上，如圖4所示。此時(shí)OP、

              AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、2t個(gè)單位。∴t+2t=10，∴t=。綜上，符合題意的

              t值分別為，2， 。