Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD和AEFG是兩個互相重合的矩形，如圖2將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉α度（0≤α≤90°），點G恰好落在矩形ABCD的對角線上，AB與FG相交于點M，連接BE交FG于點N．

（1）當AB=AD時，請直接寫出∠ABE的度數；

（2）當∠ADB=60°時，求∠ABE的度數；

（3）如圖3，當AB=2AD=2時，①求點A到直線BE的距離； ②直接寫出△BMN的周長．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE=45°；（2）∠ABE=60°；（3）點A到直線BE的距離為；△BMN的周長為=+．

【解析】

(1)當AB=AD時,判斷出點G和點B重合,即可得出結論;

(2) 先判斷出△ADG是等邊三角形, 得出∠DAG=, 再判斷出△ABE是等邊三角形, 即可得出結論;

(3)①先確定出BD=, sin∠ADB== =COS∠ABD, 進而得出AQ=, 再判斷出ΔADQ∽ΔABH, 即可得出結論;

②先求出BH=, 即: BE=2BH=再判斷出∠FEN=∠ABD, 即可求出∠BNM, 最后由ΔBMN∽ΔBAE, 求出M N=BM=, 即可得出結論.

解：（1）如圖1，

當AB=AD時，矩形ABCD和矩形AEFG都是正方形，

∴旋轉使點G在正方形對角線上時，點G和點B重合，

在△ABE中，∠BAE=90°，AE=AB，

∴∠ABE=45°；

（2）在Rt△ABD中，∠ADB=60°，

由旋轉知，AD=AG，

∴△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG=60°，

∴∠BAG=90°﹣60°=30°，

∴∠BAE=90°﹣30°=60°，

∵AB=AE，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠ABE=60°；

（3）①如圖3，

過點A作AH⊥BE于H，

∴∠BAH=∠BAE，

∴AH就是點A到直線BE的距離，

在Rt△ABD中，AB=2AD=2，

∴AD=1，根據勾股定理得，BD=，sin∠ADB====cos∠ABD，

過點A作AQ⊥BD于Q，

∴∠DAQ=∠DAG，

在Rt△ADQ中，tan∠ADB==，

∴AQ=AD=，

由旋轉知，∠DAG=∠BAE，

∴∠DAQ=∠BAH，

∵∠AQD=∠AHB，

∴△ADQ∽△ABH，

∴=，

∴AH=，

即：點A到直線BE的距離為；

②由①知，AH=，

在Rt△ABH中，根據勾股定理得，BH==，

∴BE=2BH=，

由①知，∠ABE=∠ADB，

∴∠NBG=90°，

∵∠NFE=90°，

∴∠FEN=∠BGN，

∵∠BGN+∠QAG=90°，

∴∠FEN=∠GAQ=∠DAQ=∠ABD，

在Rt△EFN中，cos∠FEN==cos∠ABD=，

∴=，

∴EN=，

∴BN=BE﹣NE=，

∵MN∥AE，

∴△BMN∽△BAE，

∴，

∴=，

∴MN=BM=，

∴△BMN的周長為MN+BM+BN=．