Question

如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一塊含30°角的△DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉。
⑴在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①說明DM＝DN；②在這一過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的？若不發生變化，求出其面積；
⑵繼續旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出理由；若不成立，請說明理由；
⑶繼續旋轉至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出結論，不用說明理由。

Answer 1

解:(1)①連接BD,∵AB=BC,∠ABC=90，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C="45" ∵D是AC的中點，∴BD是△ABC的中線，∴BD是△ABC的高，
∴∠BDC=90,∴∠DBC=45=∠DCB,∴BD=CD=AD,∴∠DBC=∠DAB=45,
∵∠EDF=90=∠ADB,∠EDB為公共角，∴∠ADM=∠BDN,∴△ADM≌△BDN(ASA),
∴DM=DN.
②四邊形DMBN的面積不發生變化，理由如下：
由①可知S△ADM=S△BDN,∴S四邊形DMBN=S△ADB,已知△ADB的面積是一個定值
∴四邊形DMBN的面積不發生變化，∵AB=AC=1，S△ADB=1/2S△ABC,
∴S四邊形DMBN=S△ABD=1/2S△ABC=1/4.
(2)連接BD,由（1）可知，BD=CD,∵FDE=90,∴∠FDN=90,
∵∠BDC=90,∠FDC是公共角，∴∠BDM=∠CDN,∵∠MBE=∠NDE,
∠BEM=∠NED,∴∠M=∠N,∴△BMD≌△CND(AAS)
∴DM=DN
(3)DM=DN

（１）連結BD，證明△BDM與△CDN全等，得DM＝DN 
（２）連結BD，同理可證△BDM與△CDN全等，得DM＝DN 
（３）結論成立　DM＝DN