Question

（1）如圖①所示，P是等邊△ABC內的一點，連接PA、PB、PC，將△BAP繞B點順時針旋轉60°得△BCQ，連接PQ．若PA+PB=PC，證明∠PQC=90°；

（2）如圖②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）內的一點，連接PA、PB、PC，將△BAP繞B點順時針旋轉90°得△BCQ，連接PQ．當PA、PB、PC滿足什么條件時，∠PQC=90°？請說明．

Answer 1

（1）證明見解析（2）滿足：

由旋轉得△BAP≌△BCQ                  滿足：
∴PA=CQ    PB=BQ                        由旋轉得△BAP≌△BCQ
∵∠PBQ=60                           ∴PA=CQ    PB=BQ 
∴△PBQ為等邊三角形                    ∠PBQ=
∴PB=PQ                             ∴ 
∵PA+PB=PC                      ∵
∴                   ∴
∴∠PQC=90                          ∴ 
（1）由旋轉的性質可得到的條件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；
由②可證得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，聯立BP=BQ，即可得到△BPQ是等邊三角形的結論，則BP=PQ；將等量線段代換后，即可得出PQ²+QC²=PC²，由此可證得∠PQC=90°；
（2）由（1）的解題思路知：△PBQ是等腰Rt△，則PQ²=2PB2，其余過程同（1），只不過所得結論稍有不同．