Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知直線l₁:y=x與直線l₂：y=－x+6相交于點M，直線l₂與x軸相較于點N.
求M，N的坐標；
在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個
單位長度的速度移動.設矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S.移動的時間為t（從點B與點O重合時開始計時，到點A與點N重合時計時結束）。直接寫出S與自變量t之間的函數關系式（不需要給出解答過程）；
在（2）的條件下，當t為何值時，S的值最大？并求出最大值.

 

Answer 1

解：（1）解得。∴M的坐標為（4，2）。
在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐標為（6，0）。
（2）S與自變量t之間的函數關系式為：

（3）當0≤t≤1時，S的最大值為，此時t=1。
當1＜t≤4時，S的最大值為，此時t=4。
當4＜t≤5時，∵，
∴S的最大值為，此時t=。
當5＜t≤6時，S隨t的增大而減小，最大值不超過。
當6＜t≤7時，S隨t的增大而減小，最大值不超過。
綜上所述，當t=時，S的值最大，最大值為。

一次函數綜合題，平移問題，直線上點的坐標與方程的關系，一次函數和二次函數的最值。
【分析】（1）聯立兩直線方程即可求得M的坐標，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐標。
（2）先求各關鍵位置，自變量t的情況：
起始位置時，t=0；當點A與點O重合時，如圖1，t=1；當點C與點M重合時，如圖2，t=4；當點D與點M重合時，如圖3，t=5；當點B與點N重合時，如圖4，t=6；結束位置時，點A與點N重合，t=7。

①當0≤t≤1時，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一三角形面積（不含t=0），三角形的底為t，高為，∴。
②當1＜t≤4時，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一梯形面積，梯形的上底為，下底為，高為1。∴。
③當4＜t≤5時，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為兩梯形面積的和，第一個梯形的上底為，下底為2，高為；第二個梯形的上底為－t +6，下底為2，高為。
∴。
④當5＜t≤6時，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一梯形面積，梯形的上底為
6－t ，下底為7－t，高為1。∴。
⑤當6＜t≤7時，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一三角形面積（不含t=7），三角形的底為7－t，高為7－t，∴。
（3）分別討論各分段函數的最大值而得所求。