Question

已知直角三角形ABC的三邊長分別為a，b，c，∠C=90°，求它的內切圓的半徑r．
小明同學求得的結果是r=

1

2

（a+b-c）；小莉同學求得的結果是r=

ab

a+b+c

．你認為他們解答的結果都正確嗎？如果你認為他們的解答都是正確的，請幫助他們寫出解答的過程．

Answer 1

都正確，．
理由是：連接OA、OB、OC、OE、OF、OD，
∵⊙O切BC于E，切AB于D，切AC于F，
∴BE=BD，AD=AF，CE=CF，∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠ACB=90°，OE=OF，
∴四邊形CEOF是正方形，
∴OE=OF=CE=CF=r，
∴BE=BD=a-r，AD=AF=b-r，
∵AB=c，
∴b-r+a-r=c，
∴r=

1

2

（a+b-c）；
∴小明求得的結果正確；
由三角形的面積公式得：S_△ACB=S_△BOC+S_△AOC+S_△AOB，
∴

1

2

ab=

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr，
∴r=

ab

a+b+c

，
∴小莉求得的結果正確．