Question

【題目】定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖，拋物線C1與拋物線C2組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1與拋物線C2與x軸有相同的交點M，N（點M在點N的左側），與y軸的交點分別為A，B且點A的坐標為（0，﹣3），拋物線C2的解析式為y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．

（1）請你根據“月牙線”的定義，設計一個開口向下．“月牙線”，直接寫出兩條拋物線的解析式；

（2）求M，N兩點的坐標；

（3）在第三象限內的拋物線C1上是否存在一點P，使得△PAM的面積最大？若存在，求出△PAM的面積的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線y＝﹣x2+2x+3與拋物線y＝﹣x2+x+1所圍成的封閉曲線即為開口向下的“月牙線”；（2）M（﹣6，0），N（2，0）；（3）存在，點P的坐標為（﹣3，﹣）時，△PAM的面積有最大值，最大值為．

【解析】

（1）根據定義，只要寫出的兩個拋物線與x軸有著相同的交點，且a的值為負即可；

（2）在解析式y=mx2+4mx-12m中，令y=0解方程即可求出M，N的橫坐標，由此可寫出M,N兩點的坐標；

（3）先根據“月牙線”的定義，設出拋物線C1的一般式，將A點代入即可求得拋物線C1的解析式，再用含t的代數式表示P點坐標，根據S△PAM=S△PMO+S△PAO-S△AOM即可表示△PAM的面積.可根據二次函數的性質求出面積的最大值以及此時P點坐標.

（1）如圖1，

拋物線y＝﹣x2+2x+3與拋物線y＝﹣x2+x+1所圍成的封閉曲線即為開口向下的“月牙線”（此題答案不唯一）；

（2）在拋物線C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，

當y＝0時，mx2+4mx﹣12m＝0，

∵m≠0，

∴x2+4x﹣12＝0，

解得，x1＝﹣6，x2＝2，

∵點M在點N的左邊，

∴M（﹣6，0），N（2，0）；

（3）存在，理由如下：

如圖2，連接AM，PO，PM，PA，

∵拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同，

∴可設拋物線C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），

∵拋物線C1與y軸的交點為A（0，﹣3），

∴﹣12n＝﹣3，

∴n＝，

∴拋物線C1的解析式為y＝x2+x﹣3，

∴可設點P的坐標為（t，t2+t﹣3），

∴S△PAM＝S△PMO+S△PAO﹣S△AOM

＝×6×（﹣t2﹣t+3）+×3×（﹣t）﹣×6×3

＝﹣t2﹣t，

＝﹣（t+3）2+，

∵﹣＜0，﹣6＜t＜0，

∴根據二次函數的圖象和性質知，當t＝﹣3時，即點P的坐標為（﹣3，﹣）時，△PAM的面積有最大值，最大值為．