Question

【題目】如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，AE⊥EF，下列結論：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S△ABE＝4S△ECF．其中正確的有_____（填序號）．

Answer 1

【答案】②④．

【解析】

由正方形的性質和三角函數得出∠BAE＜30°，①不正確；由題中條件可得△CEF∽△BAE，進而得出對應線段成比例，得出②正確，CF=13FD，③不正確；進而又可得出△ABE∽△AEF，得出④正確，即可得出題中結論．

解：tan∠BAE＝，

∴∠BAE≠30°，故①錯誤；

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠B＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

∴△BAE∽△CEF，

∴，

∵BE＝CE＝BC，

∴＝＝4，

∴S△ABE＝4S△ECF，故④正確；

∴CF＝EC＝CD，

∴CD＝4CF，

故③錯誤；

設CF＝a，則BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，

∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，

∴，，

∴，

∴△ABE∽△AEF，故②正確．

∴②與④正確．

故答案為：②④．