Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+b分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標為（4，0），四邊形ABCD是正方形．

（1）填空：b＝　 　；

（2）求點D的坐標；

（3）點M是線段AB上的一個動點（點A、B除外），試探索在x上方是否存在另一個點N，使得以O、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若不存在，請說明理由；若存在，請求出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）（7，4）；（3）存在，（﹣2，）或（，）

【解析】

（1）把（4,0）代入y＝﹣x+b即可求得b的值;

（2）過點D作DE⊥x軸于點E，證明，即可求得AE和DE的長，則D的坐標即可求得;

（3）分當OM=MB=BN=NO時；當OB=BN=NM=MO=3時兩種情況進行討論.

解：（1）把（4，0）代入y＝﹣x+b，得：﹣3+b＝0，解得：b＝3，

故答案是：3；

（2）如圖1，過點D作DE⊥x軸于點E，

∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

又∵直角△OAB中，∠1+∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△OAB和△EDA中，

∴△OAB≌△EDA，

∴AE＝OB＝3，DE＝OA＝4，

∴OE＝4+3＝7，

∴點D的坐標為（7，4）；

（3）存在．

①如圖2，當OM＝MB＝BN＝NM時，四邊形OMBN為菱形．

則MN在OB的中垂線上，則M的縱坐標是，

把y＝代入y＝﹣x+3中，得x＝2，即M的坐標是（2，），

則點N的坐標為（﹣2，）．

②如圖3，當OB＝BN＝NM＝MO＝3時，四邊形BOMN為菱形．

∵ON⊥BM，

∴ON的解析式是y＝x．

根據題意得：

解得：

則點N的坐標為（

綜上所述，滿足條件的點N的坐標為（﹣2，）或（．