Question

【題目】如圖1，已知點A，B，C是⊙O上的三點，以AB，BC為鄰邊作ABCD，延長AD，交⊙O于點E，過點A作CE的平行線，交CD的延長線于F．

（1）求證：FD＝FA；

（2）如圖2，連接AC，若∠F＝40°，且AF恰好是⊙O的切線，求∠CAB的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠CAB＝30°．

【解析】

（1）連接CA，如圖1，先證明∠1=∠2得到弧CE=弧AB，則弧EB=弧AC，所以∠BAE=∠E，然后證明∠3=∠4得到FA=FD；

（2）連接OA、OC，如圖2，利用三角形內角和計算出∠FAD=∠FDA=70°，再根據平行線的性質得到∠E=∠FAD=70°，∠BAD=∠FDA=70°，接著根據圓周角定理得到∠AOC=2∠E=140°，利用等腰三角形的性質得到∠OAC=20°，然后利用切線的性質得到∠OAF=90°，于是計算∠BAF-∠OAF-∠OAC即可．

（1）證明：連接CA，如圖1，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AE//BC，AB//CF，

∴∠1＝∠2，

∴弧CE=弧AB，

∴弧CE+弧BC=弧AB+弧BC，即弧EB=弧AC，

∴∠BAE＝∠E，

∵AB//CF，

∴∠4＝∠BAE，

∵AF//CE，

∴∠E＝∠3，

∴∠3＝∠4，

∴FA＝FD；

（2）解：連接OA、OC，如圖2，

∵∠F＝40°，

∴∠FAD＝∠FDA＝70°，

∴∠E＝∠FAD＝70°，∠BAD＝∠FDA＝70°，

∵∠AOC＝2∠E＝140°，∠BAF=∠FAD+∠BAD =140°，

而OC＝OA，

∴∠OAC＝(180°﹣140°)＝20°，

∵AF為切線，

∴OA⊥AF，

∴∠OAF＝90°，

∴∠CAB＝∠BAF﹣∠OAF﹣∠OAC＝140°﹣90°﹣20°＝30°．