Question

【題目】如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點．P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D．

（1）求點D的坐標（用含m的代數式表示）；
（2）當△APD是等腰三角形時，求m的值；
（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2），當點P從點O向點C運動時，點H也隨之運動．請直接寫出點H所經過的路徑長．（不必寫解答過程）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得CM=BM，

∵∠PMC=∠DMB，

∴Rt△PMC≌Rt△DMB，

∴DB=PC，

∴DB=2﹣m，AD=4﹣m，

∴點D的坐標為（2，4﹣m）

（2）

解：分三種情況

①若AP=AD，則4+m2=（4﹣m）2，解得 ；

②若PD=PA

過P作PF⊥AB于點F（如圖），

則AF=FD= AD= （4﹣m）

又∵OP=AF，

∴

則

③若PD=DA，

∵△PMC≌△DMB，

∴PM= PD= AD= （4﹣m），

∵PC2+CM2=PM2，

∴ ，

解得 （舍去）．

綜上所述，當△APD是等腰三角形時，m的值為 或 或

（3）

解：點H所經過的路徑長為 ；

理由是：∵P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），

∴0≤m＜2，

當O與P重合時，P點才開始運動，過P、M、B三點的拋物線y=﹣x2+3x，

此時ME的解析式為y=﹣x+3，則∠MEO=45°，

又∵OH⊥EM，

∴△OHE為等腰直角三角形，

∴點O、H、B三點共線，

∴點H所經過的路徑以OM為直徑的劣弧 的長度，

∵∠COH=45°，

∴H轉過的圓心角為90°，

∵OM= ，

則弧長= = = π．

【解析】（1）證明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可證明DB=2﹣m，AD=4﹣m，從而求解；（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三種情況，根據勾股定理即可求解；（3）運動時，路線長不變，可以取當P在O點時，求解即可．