Question

已知a，b，c為實數，且滿足下式：a²+b²+c²=1，①，a(

1

b

+

1

c

)+b(

1

c

+

1

a

)+c(

1

a

+

1

b

)=-3；②求a+b+c的值．

Answer 1

分析：先對①式進行變形，主要是給等式左邊每一大項一個1，再整理成兩式積等于0的形式，討論們每個式子等于0的情況，最后求出a+b+c的所有值．

解答：解：將①式變形如下，
a（

1

b

+

1

c

）+1+b（

1

c

+

1

a

）+1+c（

1

a

+

1

b

）+1=0，
即a（

1

a

+

1

b

+

1

c

）+b（

1

a

+

1

b

+

1

c

）+c（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=0，
∴（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=0，
∴（a+b+c）•

bc+ac+ab

abc

=0，
∴a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，則
（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）=a²+b²+c²=1，
∴a+b+c=±1．
∴a+b+c的值為0，1，-1．

點評：將3拆成1+1+1，最終都是將①式變形為兩個式子之積等于零的形式，再利用兩數相乘，積為0，討論兩數的值的情況，并會利用公式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）及開方運算．