Question

（2006•貴港）如圖所示，圖（1）是一座拋物線型拱橋在建造過程中裝模時的設計示意圖，拱高為30m，支柱A₃B₃=50m，5根支柱A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃，A₄B₄，A₅B₅之間的距離均為15m，B₁B₅∥A₁A₅，將拋物線放在圖（2）所示的直角坐標系中
（1）直接寫出圖（2）中點B₁的坐標為______，B₃的坐標為______，B₅的坐標為______；
（2）求圖（2）中拋物線的函數表達式是______；
（3）求圖（1）中支柱A₂B₂的長度為______，A₄B₄的長度為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，不難得出A₁A₃=30m，因此OB₁=30，那么B₁的坐標就應該是（-30，0），同理可得出B₅的坐標，而根據拱高為30m即可得出OB₃=30，因此B₃的坐標是（0，30）．
（2）根據拋物線過B₁，B₃可用交點式的二次函數通式來設此拋物線的解析式，然后根據B₅的坐標來確定拋物線的解析式．
（3）由題意，不難得出A₄A₃=15m，那么B2的橫坐標就是-15，可將其代入拋物線的解析式中求出B2的縱坐標，那么A₄B₄=B₄的縱坐標+（50-30），由此可求出A₄B₄的長，根據拋物線的對稱形可得出A₂B₂=A₄B₄，由此可求出A₂B₂的長．
解答：解：（1）B₁（-30，0），B₃（0，30），B₅（30，0）；

（2）設拋物線的表達式為y=a（x-30）（x+30），
把B₃（0，30）代入得y=a（0-30）（0+30）=30．
∴a=-．
∴所求拋物線的表達式為：y=-（x-30）（x+30）．

（3）∵B₄點的橫坐標為15，
∴B₄的縱坐標y₄=-（15-30）（15+30）=．
∵A₃B₃=50，拱高為30，
∴立柱A₄B₄=20+=（m）．
由對稱性知：A₂B₂=A₄B₄=（m）．
點評：本題結合實際問題考查了二次函數的應用，根據題中的信息確定B₁，B₃，B₅的值是解題的關鍵．