Question

（2006•貴港）如圖，已知直線l的函數表達式為y=-x+8，且l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，動點Q從B點開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，同時動點P從A點開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，設點Q，P移動的時間為t秒
（1）點A的坐標為______，點B的坐標為______；
（2）當t=______時，△APQ與△AOB相似；
（3）（2）中當△APQ與△AOB相似時，線段PQ所在直線的函數表達式為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征，即與x軸的交點y=0，與y軸的交點x=0，求出A．B兩點的坐標；
（2）當移動的時間為t時，根據△APQ∽△AOB，利用三角形的相似比求出t的值；
（3）當t=秒時，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=，即可求出P（，0），進而求出線段PQ所在直線的函數表達式；
當t=時PA=，BQ=，OP=，有P（，0），設Q點的坐標為（x，y），同上可求出Q的坐標，設PQ的表達式為y=kx+b，把P，Q兩點的坐標分別為代入即可求出PQ的表達式．
解答：解：（1）由y=-x+8，
令x=0，得y=8；
令y=0，得x=6．
A，B的坐標分別是（6，0），（0，8）；

（2）由BO=8，AO=6，根據勾股定理得AB==10．
當移動的時間為t時，AP=t，AQ=10-2t．
∵∠QAP=∠BAO，當=時，
△APQ∽△AOB，
=，
∴t=（秒）．
∵∠QAP=∠BAO，
∴當=時，
△APQ∽△AOB，
∴=，
∴t=（秒），
∴t=秒或秒，經檢驗，它們都符合題意，此時△AQP與△AOB相似；

（3）當t=秒時，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=，
∴OP=，
∴P（，0），
∴線段PQ所在直線的函數表達式為x=，
當t=時PA=，BQ=，OP=，
∴P（，0），
設Q點的坐標為（x，y），則有=，
∴=，
∴x=，
當x=時，y=-×+8=，
∴Q的坐標為，
設PQ的表達式為y=kx+b，
則，
∴，
∴PQ的表達式為y=x-．
點評：此題考查的是一次函數的解析式與三角形相結合，根據三角形相似求一次函數的解析式，有一定的難度．是中學階段的難點．