Question

【題目】如圖(1)，已知菱形的邊長為，點在軸負半軸上，點在坐標原點，點的坐標為（，），拋物線頂點在邊上，并經過邊的中點．

（1）求這條拋物線的函數解析式；

（2）點關于直線的對稱點是，求點到點的最短距離；

（3）如圖（2）將菱形以每秒個單位長度的速度沿軸正方向勻速平移，過點作于點，交拋物線于點，連接、．設菱形平移的時間為秒（），問是否存在這樣的，使與相似？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）存在t=1，使△ADF與△DEF相似

【解析】分析：(1)分別求出AB中點的坐標，拋物線的頂點坐標，再用待定系數法求拋物線的解析式；(2)；判斷點C′在以M為圓心，長為半徑的圓上；(3)∠DEF＝90°，∠DAF＜90°，所以分兩種情況討論，利用相似三角形的對應比成比例列方程求解.

詳解：(1)由題意得AB的中點坐標為(，0)，拋物線的頂點坐標為(0，3)，分別代入y＝ax2＋b，得，解得.

∴這條拋物線的函數解析式為.

(2)∵點C(，3)關于直線的對稱點是C′，過點(0，3)，

∴C′一定在點(0，3)為圓心，為半徑的圓上，

由勾股定理得AM＝，

當點A，C′，M在一條直線上時，AC′最小，最小值為AM－MC′，

即AC′的最小值為AM－MC′＝.

∴點C′到點A的最短距離為.

(3)如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，BE＝3，BC＝，

∴，

∴∠C＝60°，∠CBE＝30°。∴EC＝BC＝，DE＝.

又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠C＝180°得∠ADC＝180°－60°＝120°，

要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角，而∠DAF＜60°，

∴∠ADF＝90°或∠AFD＝90°.

(I)若∠ADF＝90°，∠EDF＝120°－90°＝30°，

在Rt△DEF中，DE＝，得EF＝1，DF＝2，

又∵E(t，3)，F(t，－t2＋3)，

∴EF＝3－(－t2＋3)＝t2，得∴t2＝1，∵t＞0，∴t＝1，

此時，∴.

又∵∠ADF＝∠DEF，∴△ADF∽△DEF，

(II)若∠DFA＝90°，可證得△DEF∽△FBA，則，

設EF＝m，則FB＝3－m，

∴，即m2－3m＋6＝0，此方程無實數根，

∴此時t不存在.

綜上所述，存在t＝1，使△ADF與△DEF相似.