Question

【題目】閱讀下列材料并完成任務：

中國古代三國時期吳國的數學家趙爽最早對勾股定理作出理論證明.他創制了一幅“勾股圓方圖”(如圖l)，用數形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明.在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的.每個直角三角形的面積為；中間的小正方形邊長為，面積為.于是便得到式子：.趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識.他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范.如圖2，是“趙爽弦圖”，其中、、和是四個全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，根據這個圖形的面積關系，可以證明勾股定理.設，，，取，.

任務：

(1)填空：正方形的面積為______，四個直角三角形的面積和為______；

(2)求的值.

Answer 1

【答案】(1)4，96；(2)196.

【解析】

（1）根據題意得圖中的四個直角三角形都全等，可得正方形的邊長為2，即可得正方形的面積；再利用正方形ABCD的面積-正方形EFGH的面積即可得四個直角三角形的面積和；

（2）易求得ab的值，和a2+b2的值，根據完全平方公式即可求得（a+b）2的值，即可解題．

(1)根據題意得，圖中的四個直角三角形都全等，

∴AB=c=10，AE-AH=b-a=2，

∴正方形的面積為22=4，正方形ABCD的面積為102=100，

∴四個直角三角形的面積和=正方形ABCD的面積-正方形EFGH的面積=100-4=96；

(2)由(1)可知四個直角三角形的面積和為，

，即.

，

.