Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A、B兩點，點A在點B的左側．

（1）如圖1，當k=1時，直接寫出A，B兩點的坐標；

（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）如圖2，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點C、D兩點（點C在點D的左側），是否存在實數k使得直線y=kx+1與以O、C為直徑的圓相切？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（2，3）（2）點P坐標為（，﹣）（3）k=時，使得直線y=kx+1與以O、C為直徑的圓相切

【解析】試題分析：（1）當k=1時，聯立拋物線與直線的解析式，解方程求得點A、B的坐標；
（2）如圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出最大值及點P的坐標；
（3）設以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，由圓周角定理可知，此時以此為基礎，構造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．

試題解析：(1)當k=1時,拋物線解析式為 直線解析式為y=x+1.

聯立兩個解析式 得：

解得：x=1或x=2，

當x=1時，y=x+1=0；當x=2時，y=x+1=3，

∴A(1,0),B(2,3).

(2)設

如答圖2所示,過點P作PF∥y軸,交直線AB于點F,則F(x,x+1).

∴

∴

當時,

∴△ABP面積最大值為,此時點P坐標為

(3)設直線AB:y=kx+1與x軸、y軸分別交于點E.F，

則

在Rt△EOF中,由勾股定理得：

令 即(x+k)(x1)=0，解得：x=k或x=1.

∴C(k,0)，OC=k.

設以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q,根據圓周角定理,此時 如圖3所示，

設點N為OC中點,連接NQ,則NQ⊥EF,

∴

∵

∴△EQN∽△EOF，

∴ 即：

解得：

∵k>0，

∴

即存在實數k使得直線與以O、C為直徑的圓相切.