Question

已知點P是直線（＞0，）上一定點，點A是軸上一動點（不與原點重合），連結PA，過點P作PB⊥PA，交軸于點B，探究線段PA與PB 的數量關系.
小題1:如圖（1），當PA⊥軸時，觀察圖形發現線段PA與PB的數量關系是__________；
小題2:當PA與軸不垂直時，在圖（2）中畫出圖形，線段PA與PB 的數量關系是否與（Ⅰ）所得結果相同？寫出你的猜想并加以證明；
小題3:為何值時，線段PA=PB？此時∠POA的度數是多少，為什么？

Answer 1

小題1:PA=PB.                                          ……2分
小題2:如圖2，過P 作PC⊥軸于C，PD⊥軸于D，設P（，）.
∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD.∴Rt△APC∽Rt△BPD.                 ……4分
∴.∴.∴PA=PB.              ……6分
小題3:當=1時，PA=PB，此時∠POA=45°或∠POA=135°.……8分
這是因為 由（Ⅱ）得PA=PB，所以當=1時，PA=PB.
此時Rt△APC≌Rt△BPD，∴PC=PD，
即點P到軸、軸的距離相等，所以直線（=1）平分一、三象限的夾角.
∴∠POA=45°或∠POA=135°（如圖3）.                 ……10分

(I)根據OAPB是矩形從而得出P點的坐標，并把它代入到正比例函數中得出結論；
（II）過P點作PC⊥軸于C，PD⊥軸于D，證明出Rt△APC∽Rt△BPD.從而得出，即PA=PB；
（III）如果PA=PB，即k=1，那么分A點在x軸正負半軸兩種情況得出∠POA的度數。