Question

（2012•青浦區(qū)二模）如圖，直線y=x+1分別與 x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與 y軸的正半軸相交于點(diǎn)C，與這個(gè)一次函數(shù)的圖象相交于A、D，且sin∠ACB=

10

10

．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）如果∠CDB=∠ACB，求拋物線y=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)一次函數(shù)中的y=0，求出x的值，即A的橫坐標(biāo)，設(shè)x=0，求出y的值即B的縱坐標(biāo)，再利用已知條件和勾股定理求出OC的長(zhǎng)，即C的縱坐標(biāo)；
（2）因?yàn)槿绻�∠CDB=∠ACB，則D點(diǎn)的位置不確定，因此小題需要分①當(dāng)點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在射線BA上時(shí)，兩種情況討論，求出滿足題意的拋物線y=ax²+bx+c的解析式即可．

解答：解：（1）設(shè)一次函數(shù)中的y=0，即y=x+1=0，
∴x=-1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0），
設(shè)x=0，即y=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，1），
∵OA=1，在Rt△AOC中，sin∠ACB=

AO

AC

=

10

10

，AC=

10

，
∴OC=

AC2-AO2

=

10-1

=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，3）．

（2）
①當(dāng)點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵B（0，1），
∴BO=1，∴AB=

AO2+BO2

=

2

，
∵∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD．
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴

AD

10

=

10

2

，
∴AD=5

2

，
過點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E，
∵DE∥AO，
∵AD=5

2

，AB=

2

，
∴BD=4

2

，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴BE=DE=4，
∴OE=5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，5）．
因?yàn)槎�次函�?shù)的解析式為y=ax²+bx+3，
∴

0=a-b+3 5=16a+4b+3

∴

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
∴二次函數(shù)解析式為y=-

1

2

x²+

5

2

x+3；
②當(dāng)點(diǎn)D在射線BA上時(shí)，同理可求得點(diǎn)D（-2，-1），
二次函數(shù)解析式為y=x²+4x+3；
綜上可知：如果∠CDB=∠ACB，則拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

5

2

x+3或y=x²+4x+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力，題目難度不小，對(duì)學(xué)生的解題能力要求很高．