Question

【題目】已知：在正方形ABCD中，AB＝6，P為邊CD上一點，過P點作PE⊥BD于點E，連接BP.

(1) 如圖1，求 的值；

(2)O為BP的中點，連接CO并延長交BD于點F.

① 如圖2，連接OE，求證：OE⊥OC；

② 如圖3，若，求DP的長.

Answer 1

【答案】（1）;(2)①見解析;②4.

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質和PE⊥BD得到DP=EP，即EP=DP，代入原式即可得到結論；

（2）①首先得出∠POE＝2∠DBP，∠POC＝2∠CBP，從而得到∠COE＝∠POE＋∠POC＝2（∠DBP＋∠CBP）＝90°，即可得到結論；

② 連接OE、CE，把△DEC繞點C逆時針旋轉90°得到△BGC，連結FG，則△BGC≌△DEC，得到EC=GC，DE=BG，∠GCB=∠ECD，∠GBC=∠EDC=45°，進而得到∠GCF=∠ECF．再證△GCF≌△ECF，得到EF=FG，在Rt△FBG中，有 ，即，由已知，設BF＝3x，EF＝5x，則DE＝4x，得到3x＋4x＋5x＝，解得x的值，進而得到結論．

試題解析：解：（1）∵ABCD是正方形，∴DC=AB=6，∠BDC=45°，∵PE⊥BD，∴△EPD是等腰直角三角形，∴DP=EP，∴EP=DP，∴EP+CP=DP +CP=（DP+CP）=DC=×6 =.

（2） ① ∵∠PEB＝∠PCB＝90°，O為BP的中點，∴OE＝OB＝OP＝OC ，∴∠POE＝2∠DBP，∠POC2∠CBP，∴∠COE＝∠POE＋∠POC＝2（∠DBP＋∠CBP）＝90°，∴OE⊥OC；

② 連接OE、CE，把△DEC繞點C逆時針旋轉90°得到△BGC，連結FG，則△BGC≌△DEC，∴EC=GC，DE=BG，∠GCB=∠ECD，∠GBC=∠EDC=45°．∵∠ECF=45°，∠BCD=90°，∴∠ECD+∠BFC=45°，∴∠GCF=45°，∴∠GCF=∠ECF．在△GCF和△ECF中，∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，FC=FC，∴△GCF≌△ECF，∴EF=FG．∵∠DBC=∠GBC=45°，∴∠FBG=90°，∴ ，即，∵，設BF＝3x，EF＝5x，則DE＝4x，∴3x＋4x＋5x＝，解得x＝，∴DP＝DE＝x．