Question

【題目】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰靈感.他驚喜地發現：當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明.下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖1擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2.

證明：連接DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b-a.

∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab.

又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b－a)，

∴b2+ab=c2+a(b－a)，

∴a2+b2=c2.

請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明：

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°.

求證：a2+b2=c2.

證明：連接 ，

∵S五邊形ACBED= ，

又∵S五邊形ACBED= ，

∴ ，

∴a2+b2=c2.

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】試題分析：首先連結BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b-a，表示出S五邊形ACBED，進而得出答案.

試題解析：如圖2，連接BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b-a，

∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，

又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a)，

∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a)，

∴a2+b2=c2.