Question

【題目】如圖，已知是等邊三角形的外接圓，點在圓上，在的延長線上有一點，使，交于點．

（1）求證：是的切線

（2）若，求的長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，根據平行線的性質得到∠EAC=60°，求出∠OAE＝90°，可得AE是⊙O的切線；

（2）先根據等邊三角形性質得AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，由四點共圓得∠ADF＝∠ABC＝60°，得△ADF是等邊三角形，然后證明△BAD≌△CAF，可得的長．

證明：（1）連接OA，

∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，

∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠BCA=60°，

∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，

∴AE是⊙O的切線；

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

∵A、B、C、D四點共圓，

∴∠ADF=∠ABC=60°，

∵AD=DF，

∴△ADF是等邊三角形，

∴AD=AF，∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF=6．