Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求b、c．

（2）如圖1，在第一象限內的拋物線上是否存在點D，使得三角形BCD的面積最大？若存在，求出D點坐標，求出三角形BCD的面積最大值；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P，與直線BC相交于點M，連接PB．問在直線BC下方的拋物線上是否存在否存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）（，），；（3）Q1（，），Q2（，-）

【解析】

試題分析：（1）把A（-1，0）、B（3，0）兩點代入y=-x2+bx+c，即可求出拋物線的解析式；

（2）設D點坐標為（t，-t2+2t+3），過點D作DH⊥x軸于H，根據=-t2+t，再利用配方法即可求出D點坐標及△BCD面積的最大值；

（3）設PM與x軸交于點E，求出過點E與BC平行的直線EQ解析式為y=﹣x+1，解方程組，即可得出點Q的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖1，設D點坐標為（t，﹣t2+2t+3），過點D作DH⊥x軸于H，

則=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3

=﹣t2+t

=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當t=時，D點坐標是（，），△BCD面積的最大值是；

（3）如圖2，設PM與x軸交于點E，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴P點的坐標為（1，4），E點的坐標為（1，0）．

∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∴當x=1時，y=2，

∴M點的坐標為（1，2），

∴PM=ME=2，BM為△BPE的中線，

∴．

過E作BC的平行線，交拋物線于點Q，則，

∴．

∵E（1，0），直線BC的解析式為y=﹣x+3，EQ∥BC，

∴直線EQ的解析式為y=﹣x+1．

由，

解得，或，

∴點Q的坐標為Q1（，），Q2（，﹣），

∴在直線BC下方的拋物線上存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等，此時點Q的坐標為Q1（，），Q2（，﹣）．