Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F.

（1）求證：△AEF≌△DEB;

（2）求證：四邊形ADCF是菱形.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）利用平行線的性質及中點的定義，可利用AAS證得結論；
（2）由（1）可得AF=BD，結合條件可求得AF=DC，則可證明四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質可證得AD=CD，可證得四邊形ADCF為菱形；

證明：（1）∵AF∥BC

∴∠AFE＝∠DBE

∵E是AD中點，

∴AE＝DE

在△AEF和DEB中

∴△AEF≌△DEB（AAS）

　　　　　　（2）在Rt△ABC中，D是BC的中點，

　　　　　　　　所以，AD＝BD＝CD

　　　　　　　　又AF∥DB，且AF＝DB，

　　　　　　　　所以，AF∥DC，且AF＝DC，

所以，四邊形ADCF是菱形.