Question

【題目】如圖1，拋物線C1：y＝ax2+bx+1的頂點坐標為D（1，0）且經過點（0，1），將拋物線C1向右平移1個單位，向下平移1個單位得到拋物線C2，直線y＝x+c，經過點D交y軸于點A，交拋物線C2于點B，拋物線C2的頂點為P．

(1)求拋物線C1的解析式；

(2)如圖2，連結AP，過點B作BC⊥AP交AP的延長線于C，設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連結BQ并延長交AC于點F，

①當點Q運動到什么位置時，S△PBD×S△BCF＝8？

②連接PQ并延長交BC于點E，試證明：FC（AC+EC）為定值．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣2x+1；(2)點Q運動到x軸時，S△PBD×S△BCF＝8；②證明見解析.

【解析】

（1）已知頂點D的坐標，設拋物線的頂點式為：y=a（x-1）2，將點（0，1）代入即可；

（2）根據平移規律求出平移后拋物線的頂點坐標，即P（2，-1），根據頂點式，得平移后拋物線解析式y=（x-2）2-1，由解析式，得A（0，-1），B（4，3），可求△DBP的面積；

（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再計算FC（AC+EC）為定值．

(1)把頂點坐標為D（1，0）和點（0，1）坐標代入y＝ax2+bx+1，

解得：拋物線的方程為：y＝x2﹣2x+1；

(2)拋物線C1向右平移1個單位，向下平移1個單位得到拋物拋物線C1向右平移1個單位，向下平移1個單位得到拋物線C2，

則拋物線C2的方程為：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，

此時頂點P坐標為（2，﹣1），A（0，﹣1）、B（4，3），

①則：S△PBD＝3，S△BCF＝，

設點Q（m，m2﹣4m+3），把Q、B點坐標代入一次函數表達式，

解得：BQ所在的直線方程為：y＝mx+（3﹣4m），

則：F（，﹣1），S△BCF＝FC（yB﹣yC）＝＝，

則m＝3，點Q坐標為：（3，0），即：點Q運動到x軸時，S△PBD×S△BCF＝8；

②如下圖所示，過Q點分別作AC、BC的垂線QM、QN，

設：Q（t，t2﹣4t+3），則QM＝CN＝（t﹣2）2，MC＝QN＝4﹣t，

∵QM∥CE，∴＝，則：＝，解得：EC＝2t﹣4，

∵QN∥FC，，則：FC＝，而AC＝4，

∴FC（AC+EC）＝（4+2t﹣4）＝8，為定值．