Question

已知，如圖，延長△ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連接D，E，F，得到△DEF為等邊三角形．求證：
（1）△AEF≌△CDE；
（2）△ABC為等邊三角形．

Answer 1

證明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量加等量和相等）．（1分）
∵△DEF是等邊三角形（已知），
∴EF=DE（等邊三角形的性質）．（2分）
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（對應角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代換），
△DEF是等邊三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等邊三角形的性質），
∴∠BCA=60°（等量代換），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角對等邊）．（6分）
∴△ABC是等邊三角形（等邊三角形的判定）．（7分）