Question

如圖，在平面直角坐標系中，AD=6，若OA、OB的長是關于x的一元二次方程的兩個根，且OA＞OB．

（1）求sin∠ABC的值．
（2）若E為x軸上的點，且，求經過D、E兩點的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？
（3）若點M在平面直角坐標系內，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2） ，y_DE=   △AOE∽△DAO（3）F₁ (3 ， 8) ；  F₂ (－3 ， 0) ；  F₃ ( ，)； F₄（－，）

解：(1) 解x²-7x+12=0得x₁=4，x₂=3
∵OA＞OB
∴OA =4， OB=3          ·························· 1分
在Rt△AOB中，由勾股定理有AB= 
∴sin∠ABC==           ······················· 1分
（2）∵點E在x軸上，S_△AOE=   有
得      ∴E（，0）或E（—，0）················· 1分
由已知可知D（6，4）    設，   
當時有
解得     
∴    ···························· 1分
同理時，y_DE=      ·················· 1分
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6
∵
∴△AOE∽△DAO               ······················· 1分
（3）滿足條件的點有四個
F₁ (3 ， 8) ；  F₂ (－3 ， 0) ；  F₃ ( ，)； F₄（－，）
······································ 4分
說明：本卷中所有題目，若由其它方法得出正確結論，可參照本評分標準酌情給分．
（1）解一元二次方程求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求出AB的長度，再代入計算即可；
（2）先根據三角形的面積求出點E的坐標，并根據平行四邊形的對邊相等的性質求出點D的坐標，然后利用待定系數法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對應邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；
（3）根據菱形的性質，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．